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現代ポートフォリオ理論(Modern portfolio theory、以下MPT)は、合理的な投資家が分散投資を行い、自身のポートフォリオを最適化し、また、自身のリスク資産をどう価格設定するかを決める理論である。MPTの基本概念はマーコウィッツの分散投資、効率的フロンティア、資本資産価格モデル(capital asset pricing model、以下CAPM)、、、資本市場線、証券市場線から成る。

MPTモデルは資産の収益をに、ポートフォリオを複数の資産の集合とみなしモデル化する。つまり、ポートフォリオの収益は複数の資産の収益の加重平均である。ポートフォリオの収益はランダムな変数であり、結果として期待値と分散を持つ。このモデルでリスクはポートフォリオの収益の標準偏差である。

◆ リスクと収益

MPTは投資家はリスク回避的ということを仮定している。つまり、二つの資産が与えられた時、同じ収益が得られると期待されるならば、投資家はリスクの少ないほうを選ぶということである。このように、もしより高い収益を得ようとするならば代わりにリスクを負わなければならない。リスクと収益のトレードオフの関係は投資家個々人の期待効用関数の形状によって異なる。MPTの仮定が示すことは、もし第二のポートフォリオが存在しそれが現状よりよい効用が得られるならば、合理的な投資家はそれを選ぶということである。

◇ 平均と分散

投資家のリスクないし収益の関係は二次の効用関数で示されるという仮定がある。この仮定の効果は期待収益率とボラティリティ(それぞれ、平均値と標準偏差で記述される)が投資家にとって重要であるということである。投資家は収益の歪度や尖度といった収益の他の特徴である無関係である。

MPTは歴史的パラメーターであるボラティリティをリスクの代理変数として使用する一方、収益は将来の期待を表す。これは効率性仮説及び、ブラック-ショールズ方程式といったファイナンスの昔からの知見に基づいている。

(PMPT)という特筆すべきポートフォリオ理論の最近の革新は投資家のリスクの代理変数として標準偏差に全面的に信頼を寄せている。

MPTの概念をまとめると以下のとおりになる。

・ポートフォリオの収益は複数の資産の収益からの加重平均で構成される。

・ポートフォリオの分散は複数の資産それぞれの共分散から構成される。ボラティリティは資産構成の変化により変化する。

 数学的表現

・一般的に

  ・期待収益率:$\backslash operatorname(r\_p)\; =\; \backslash sum\_i\; w\_i\; \backslash operatorname(r\_i)\; \backslash quad$

::$R$ が収益率である。

  ・ポートフォリオの分散:$\backslash sigma\_p^2\; =\; \backslash sum\_i\; \backslash sum\_j\; w\_i\; w\_j\; \backslash sigma\_=\; \backslash sum\_i\; \backslash sum\_j\; w\_i\; w\_j\; \backslash sigma\_i\; \backslash sigma\_j\; \backslash rho\_$

  ・ポートフォリオのボラティリティ:$\backslash sigma\_p\; =\; \backslash sqrt$

・2つの資産からなるポートフォリオの場合:

  ・ポートフォリオの収益:$\backslash operatorname(r\_p)\; =\; w\_A\; \backslash operatorname(r\_A)\; +\; (1\; -\; w\_A)\; \backslash operatorname(r\_B)\; =\; w\_A\; \backslash operatorname(r\_A)\; +$

w_B \operatorname(R_B)

  ・ポートフォリオの分散は:$\backslash sigma\_p^2\; =\; w\_A^2\; \backslash sigma\_A^2\; +\; w\_B^2\; \backslash sigma\_B^2\; +\; 2w\_Aw\_B\; \backslash rho\_\backslash sigma\_\backslash sigma\_$となる。

・3つの資産からなるポートフォリオの場合、分散は:

:$w\_A^2\; \backslash sigma\_A^2\; +\; w\_B^2\; \backslash sigma\_B^2\; +\; w\_C^2\; \backslash sigma\_C^2\; +$

2w_Aw_B \rho_ \sigma_ \sigma_ +

2w_Aw_C \rho_ \sigma_ \sigma_ +

2w_B w_C \rho_ \sigma_ \sigma_

資産の数が $N$ に増えていくときは行列で表現することになる。

◇ 分散投資

投資家は完全には相関のない複数の資産を持つことによってポートフォリオのリスクを減らすことが出来る。換言すれば、投資家は分散投資することにより、個々人が曝すリスクを減らすことが出来るということである。分散投資は、リスクを減らすことで同じポートフォリオの収益を可能にさせる。

もし、あるポートフォリオにあるすべての資産が相関関係があるならば($cov\; =\; 1$)、ポートフォリオのボラティリティ(標準偏差)は、資産それぞれのボラティリティの加重平均と等しくなる。一方、完全に無相関ならば($cov\; =0$)ポートフォリオの分散は、個々の資産の投資比率の2乗×個々の資産の分散の2条の総和になる。

ゼロより小さければ、つまり、個々の資産が負の相関()ならば、ポートフォリオの分散は、無相関のときと比べて、小さくなる。

◇ 資本分配線

資本分配線(the capital allocation line 、CAL)は以下の数式で表される。

:$\backslash mathrm:\; E(r\_)\; =\; r\_f\; +\; \backslash sigma\_C\; \backslash frac$

この公式では$P$はリスク資産のポートフォリオ、$f$はリスクが少ない資産、$C$は$P$と$f$の組み合わさったポートフォリオである。

◇ 効率的フロンティア

収益率を固定した時に分散が最小となる実現可能集合の左端の境界を最小分散集合と呼び、その上方の境界線を効率的フロンティア(the Efficiency Frontier)と呼ぶLuenberger[外部リンク]1997(今野・鈴木・枇々木[外部リンク]2002 pp.197-198)。

この線に沿った組み合わせは最小のリスクを負うことである所与のレベルの収益を得られるポートフォリオを示している。言い換えると、ある一定リスクの見返りに、効率的フロンティア上にあるポートフォリオは可能な限り最善の収益を提供するポートフォリオであるということを示している。数学的に効率的フロンティアは、「最小分散の元でのポートフォリオのセット」であり、「最大収益のポートフォリオ」である。

効率的フロンティアは$x$軸に分散をとり、$y$軸に収益をとることで図示される。

効率的フロンティアがコンベキシティ(凸性)の形状を持つ理由は、ポートフォリオを構成する資産の保有比率が変化するにつれ、ポートフォリオのリスク-収益の特性が変化するからである(上述したとおり、ポートフォリオのリスクは、各資産の分散、共分散、収益率の非線形の関数である)。

効率的フロンティアより上部の領域は、リスク資産の保有のみでは実現不可能である。一方、効率的フロンティアより下部の領域は、実現可能であるが最善とは言えない。ゆえに、合理的な投資家は、効率的フロンティア上のポートフォリオを保有することになる。

◆ 無リスク資産

無リスク資産(リスクフリー資産、risk-free asset)とはリスクを負うことなく、が得られる資産のことであり、短期国債証券への投資が代理変数としてよく使用される。無リスク資産は将来にわたる収益の分散はゼロであり、他の資産との相関係数もゼロである。そのため、結果として他のいかなる資産との組み合わせ、もしくはいかなる資産ポートフォリオとのの組み合わせにおいても収益の変化や、リスクの変化もまた線形になる。

無リスク資産として線形的にリスクと収益が変化するので、無リスク資産とポートフォリオの組み合わせは線形になる。この線は、$(x\; ,\; y)\; =\; (0\; ,\; r\_f)$(リスク資産保有ゼロの場合)から$(x\; ,\; y)=(\backslash sigma\_p\; ,\; \backslash mu\_P)$(リスク資産保有100%の場合)までを結ぶ線分となる(空売りを含む場合は線分が直線になる)。

◇ 数学的表現

無リスク資産を含む場合の収益利と標準偏差を数式で表すと以下のようになる。

・収益率は無リスク資産の加重平均であり、$$は無リスク資産、$$はリスク資産を現すと、

:収益率 = $w\_\backslash operatorname(r\_)\; +\; w\_p\; \backslash operatorname(r\_p)\; \backslash quad$

・無リスク資産なので、標準偏差はリスク資産の保有割合×リスク資産の標準偏差となる。

:標準偏差 =

:=

:=

:= $w\_p\; \backslash sigma\_p\; \backslash quad$

◇ ポートフォリオのレバレッジ

投資家は無リスク資産を借り入れることで、レバレッジを増やしポートフォリオに加算することが出来る。無リスク資産の借り入れにより、効率性フロンティアは上方へシフトすることが可能になる。このようにして、無リスク資産にリスク資産を加えることで、効率的フロンティアを選りすぐれたものに変更することが可能となる。

◇ 市場ポートフォリオと資本市場線

効率的フロンティアは複数のポートフォリオの集合であり、一定の所与のリスクに対し、最適な組み合わせを持つ。無リスク資産を含む場合、無リスクレートから効率的フロンティアへの接線を引いたとき、最大の効用が得られる。無リスク資産の収益率から効率的フロンティアに引いた接線を資本市場線(Capital market line、CML)と呼び、その接点を市場ポートフォリオ(market portfolio)と呼ぶ。

CMLを数式で表現すると以下の通りになる。

:$\backslash mathrm:\; E(r\_)\; =\; r\_F\; +\; \backslash sigma\_C\; \backslash frac.$

◆ 資産の価格付け

合理的な投資家は現有のポートフォリオのリスクと収益の特性を改善できると分かって初めて、投資を見直す。MPTは資産の価格付けという文脈において、正しく価格付けされた資産への要求される収益を導出する。

◇ 証券特性線

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